Задания для самостоятельного выполнения
- Изучить теоретическую справку по методу средних прямоугольников и правилу Рунге.
- Используя свой вариант и наработки по лабораторной работе №3, напишите программу для расчёта приближённого значения интеграла \( I = \int_a^b f(x) dx \) по формуле средних прямоугольников с заданной точностью по правилу Рунге.
Требования и ограничения
Требуемую точность вводить с клавиатуры. Значение, рассчитанное программой, должно приближаться к контрольному значению.
Теоретическая справка
Метод средних прямоугольников
В случаях, когда при вычислении интерграла \( I = \int_a^b f(x) dx \) невозможно найти или очень сложно вычислить первообразную, обращаются к численному интегрированию. Рассмотрим на примере метода средних прямоугольников, в котором площадь подынтегральной трапеции заменяется площадью совокупности прямоугольников.
Метод средних прямоугольников без разбиений отрезка интегрирования и с разбиением на 4 части:
Без разбиений интеграл \( I \) можно найти в виде площади прямоугольника с шириной, равной длине интервала интегрирования \( [a, b] \) и высотой, равной значению \( f(x) \) в середине этого интервала:
$$ \int_a^b f(x) dx \approx (b-a) f \Big( \frac{a+b}{2} \Big). $$
Введём равномерную сетку \( x_i = a + ih, i = 0,1, …, n \), где \( h = \frac{b-a}{n} \) - шаг сетки. Тогда интеграл \( I \) найдём как сумму площадей прямоугольников шириной \( h \) и высотой, равной значению \( f(x) \) в средней точке каждого прямоугольника:
$$ \int_a^b f(x) dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f \Big( x_i + \frac{h}{2} \Big). $$
Правило Рунге
Правило Рунге служит для оценки погрешности численных методов. Сформулируем это правило для метода средних прямоугольников. Для поиска интеграла с заданной точностью \( ε \):
- Найти интеграл с числом шагов, равным \( n \).
- Найти интеграл с числом шагов, равным \( 2n \).
- Вычислить величину \( \Delta_{2n} = \frac{I_{2n} - I_n}{3} \).
- Если \( \Delta_{2n} \lt ε \) - закончить. Иначе - принять \( n = 2n \) и перейти к шагу 2.
Варианты заданий
- \( f(x) = \begin{cases} \cos(x+x^3), & 0 \le x \le 1; \\ e^{-x^2} - x^2 + 2x, & 1 \lt x \le 2. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 1,43537. - \( f(x) = \begin{cases} e^{\sin x}, & 0 \le x \le \frac{1}{4}; \\ e^x - \frac{1}{\sqrt{x}}, & \frac{1}{4} \lt x \le \frac{1}{2}. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 0,23431. - \( f(x) = \begin{cases} \cos(x)e^{-x^2}, & 0 \le x \le 1; \\ \ln(x+1) - \sqrt{4-x^2}, & 1 \lt x \le 2. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 0,33735. - \( f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+1} - \sqrt{x} - \frac{1}{2}, & 0 \le x \le 1; \\ e^{-x-\frac{1}{x}}, & 1 \lt x \le 2. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 0,16514. - \( f(x) = \begin{cases} 2^x - 2 + x^2, & 0 \le x \le \frac{\pi}{2}; \\ \sqrt{x}e^{-x^2}, & \frac{\pi}{2} \lt x \le \pi. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 1,02481. - \( f(x) = \begin{cases} 8x^3 \cos x, & 0 \le x \le 1; \\ \ln (1 + \sqrt{x}) - \cos x, & 1 \lt x \le 2. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 2,10167. - \( f(x) = \begin{cases} e^{-2\sin x}, & -1 \le x \le 1; \\ x^2 - \ctg x, & 1 \lt x \le 2. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 5,52399. - \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+25x^2}, & 0 \le x \le 0,6; \\ (x + 2x^4) \sin x^2, & 0.6 \lt x \le 1.6. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 4,60078. - \( f(x) = \begin{cases} (x^2 - 2x^3) \cos x^2, & -\frac{\pi}{2} \le x \le 0; \\ e^{\sin 2x}, & 0 \lt x \le \frac{\pi}{2}. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 2,93972. - \( f(x) = \begin{cases} -\cos e^x, & 0 \le x \le 1; \\ \ln (2x + \sin x^2), & 1 \lt x \le 2. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 1,37207. - \( f(x) = \begin{cases} x^2 \arctg x, & 0 \le x \le 1; \\ \sin \frac{1}{x^2}, & 1 \lt x \le 2. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 0,67927. - \( f(x) = \begin{cases} x^2 \sin (\sqrt[3]{x} - 3), & -2 \le x \le 0; \\ \sqrt{x} \cos 2x, & 0 \lt x \le 1. \end{cases} \)
Контрольное значение интеграла: 2,42417.